ln(1+x)等价无穷小替换是-(x^2)/2。把ln(1+x)用麦克劳林公式展开:ln(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3-…所以ln(1+x)-x=-(x^2)/2+(x^3)/3-…所以它的等价无穷小=-(x^2)/2。
等价无穷小是现代词,是一个专有名词,指的是数学术语,是大学高等数学微积分使用最多的等价替换。无穷小就是以数零为极限的变量。确切地说,当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时,函数值f(x)与零无限接近,即f(x)=0(或f(x0)=0),则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。
从无穷小的比较里可以知道,如果lim b/a^n=常数,就说b是a的n阶的无穷小,b和a^n是同阶无穷小。特殊地,如果这个常数是1,且n=1,即lim b/a=1,则称a和b是等价无穷小的关系,记作a~b。
这里值得一提的是,无穷小是可以比较的:假设a、b都是lim(x→x0)时的无穷小,如果lim b/a=0,就说b是比a高阶的无穷小,记作b=o(a)。如果lim b/a=∞,就是说b是比a低阶的无穷小。
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