sinx是收敛的。sinx展开后是函数项级数,准确的说是幂级数,只有常数项级数可以直接谈收敛或者发散。sinx展开成x的幂级数后它的收敛半径是+∞,所以sinx在整条数轴上都是收敛的。可以把sinx展开成x的幂级数,这时把x当作常数,发现这是交错级数,用绝对收敛的方法的话得到正项级数,这时用比值审敛法(达朗贝尔法)计算得到比值的极限为0,0小于1,所以该级数是收敛的。
相关概念:
对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ(Xk)所产生的点列收敛,即其当k→∞时,Xk的极限趋于X*,则称Xk+1=φ(Xk)在[a,b]上收敛于X*。
若存在X*在某邻域R={X||X-X*小于δ},对任何的X0∈R,由Xk+1=φ(Xk)所产生的点列收敛,则称Xk+1=φ(Xk)在R上收敛于X*。
一般的级数u1+u2+...+un+...它的各项为任意级数。如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛,则称级数Σun绝对收敛。如果级数Σun收敛,而Σ∣un∣发散,则称级数Σun条件收敛。
正弦函数:
对于任意一个实数x都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数),而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx,这样,对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应,按照这个对应法则所建立的函数,表示为y=sinx,叫做正弦函数。
单位圆定义
图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角θ,并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于sinθ。在这个图形中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边并有长度1,所以有了sinθ=y/1。
单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。即sinθ=AB,与y轴正方向一样时正,否则为负对于大于2π或小于0的角度,简单的继续绕单位圆旋转。
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