质数(prime number)又称素数,有无限个;一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除的数就是质数。根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的,自然数中最小的质数就是2。
目前为止,人们未找到一个公式可求出所有质数,2006年发现世界上迄今为止最大的质数,长达2233万位,如果用普通字号将它打印出来长度将超过65公里。
质数的个数是无穷的,欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明,它使用了证明常用的方法:反证法。具体证明如下:假设质数只有有限的n个,从小到大依次排列为p1,p2,……,pn,设N=p1×p2×……×pn,那么N+1是质数或者不是质数。
其他数学家也给出了一些不同的证明,欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的,恩斯特·库默的证明更为简洁,HillelFurstenberg则用拓扑学加以证明。
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